ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Verbindungsgerade</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Verbindungsgerade</h1>

</header>

</div>

Eine Verbindungsgerade ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a>, die durch zwei vorgegebene <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> verläuft. Verbindungsgeraden werden speziell in der <a href="Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">euklidischen Geometrie</a> und allgemeiner in <a href="Inzidenzgeometrie" title="Inzidenzgeometrie">Inzidenzgeometrien</a> betrachtet. Die <a href="Existenz" title="Existenz">Existenz</a> und <a href="Eindeutigkeit" title="Eindeutigkeit">Eindeutigkeit</a> der Verbindungsgeraden zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten wird in der Geometrie <a href="Axiom" title="Axiom">axiomatisch</a> als Verbindungsaxiom gefordert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Euklidische_Geometrie">Euklidische Geometrie</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> zwei verschiedene Punkte in der <a href="Euklidische_Ebene" class="mw-redirect" title="Euklidische Ebene">euklidischen Ebene</a> oder im <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a>, dann wird diejenige Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">, die diese beiden Punkte enthält, „Verbindungsgerade der Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy">“ genannt und mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=(PQ)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37272b22848a9a54e4fe8537ef680d4b878655ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.608ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g=(PQ)}" loading="lazy">   oder   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=PQ}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=PQ}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d2d47d9526037a84022f0ba20046118380f9a8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.798ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=PQ}" loading="lazy"></dd></dl>

bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung">Berechnung</h3></div>

Nach Wahl eines <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystems</a> können Punkte in der euklidischen Ebene durch Zahlenpaare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9495647400fbd7b2198cf430d72fa11bd0ee8e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q=(x_{Q},y_{Q})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=(x_{Q},y_{Q})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0766593369e40b7ce5fa61c7b22bd0c87cadf61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.313ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Q=(x_{Q},y_{Q})}" loading="lazy"> beschrieben werden. Die Verbindungsgerade zweier Punkte kann dann über eine <a href="Geradengleichung" title="Geradengleichung">Geradengleichung</a> angegeben werden. Die <a href="Zweipunkteform" title="Zweipunkteform">Zweipunkteform</a> der Geradengleichung lautet in diesem Fall

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (y-y_{P})\cdot (x_{Q}-x_{P})=(x-x_{P})\cdot (y_{Q}-y_{P})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81e75945e95073dbb48c056d8b050d2789530709.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:43.878ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (y-y_{P})\cdot (x_{Q}-x_{P})=(x-x_{P})\cdot (y_{Q}-y_{P})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Eine <a href="Parameterform" title="Parameterform">Parameterform</a> der Geradengleichung ist nach Wahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> als Aufpunkt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/675febeea8e91072fb11994af206714d0bc598a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-top: -0.4ex; width:3.714ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}" loading="lazy"> als Richtungsvektor

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{P}\\y_{P}\end{pmatrix}}+s\,{\begin{pmatrix}x_{Q}-x_{P}\\y_{Q}-y_{P}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/221a4c470054531e9d7f34d7c3095b64b2f6974e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.559ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{P}\\y_{P}\end{pmatrix}}+s\,{\begin{pmatrix}x_{Q}-x_{P}\\y_{Q}-y_{P}\end{pmatrix}}}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36efff902c6854b1196e79dec095b31e0c6a8ee9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.609ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }" loading="lazy">.</dd></dl>

In <a href="Baryzentrische_Koordinaten" title="Baryzentrische Koordinaten">baryzentrischen Koordinaten</a> lautet die Geradengleichung der Verbindungsgeraden entsprechend

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=s\,{\begin{pmatrix}x_{P}\\y_{P}\end{pmatrix}}+t\,{\begin{pmatrix}x_{Q}\\y_{Q}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe6ab3bec18e21496865c08d733ebd9e0528b7e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.149ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=s\,{\begin{pmatrix}x_{P}\\y_{P}\end{pmatrix}}+t\,{\begin{pmatrix}x_{Q}\\y_{Q}\end{pmatrix}}}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} ,\,s+t=1}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} ,\,s+t=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c30b1d86ccfb9d7f5b99c9141fc2472db0915ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.935ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} ,\,s+t=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die beiden vektoriellen Darstellungen gelten analog auch in drei- und höherdimensionalen Räumen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Axiomatik">Axiomatik</h3></div>

In einem <a href="Axiom" title="Axiom">axiomatischen Zugang</a> zur euklidischen Geometrie muss die <a href="Existenz" title="Existenz">Existenz</a> und <a href="Eindeutigkeit" title="Eindeutigkeit">Eindeutigkeit</a> der Verbindungsgeraden zu zwei gegebenen Punkten explizit gefordert werden. <a href="Euklid" title="Euklid">Euklid</a> verlangt die Existenz der Verbindungsgeraden in zwei Schritten. Die ersten beiden Postulate in seinem Werk <a href="Elemente_(Euklid)" title="Elemente (Euklid)">Die Elemente</a> lauten sinngemäß wie folgt:<a href="#cite_note-Meschkowski-1">[1]</a>

<ol><li>Man kann von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen.</li>

<li>Man kann eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern.</li></ol>

Damit existiert zu zwei verschiedenen Punkten stets eine Verbindungsgerade. Diese Postulate sind dabei konstruktiv zu sehen, das heißt, zu zwei gegebenen Punkten lässt sich die zugehörige Verbindungsgerade stets auch <a href="Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal" title="Konstruktion mit Zirkel und Lineal">mit Zirkel und Lineal konstruieren</a>.

In <a href="Hilberts_Axiomensystem_der_euklidischen_Geometrie" title="Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie">Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie</a> werden die Existenz und die Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden als Axiome I1. und I2. innerhalb der Axiomengruppe I: Axiome der Verknüpfung aufgeführt. <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">Hilbert</a> formuliert die Axiome I1. und I2. wie folgt:<a href="#cite_note-Hilbert-2">[2]</a>

<dl><dd>I1. Zu zwei verschiedenen Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,\,Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,\,Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,\,Q}" loading="lazy"> gibt es stets eine Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">, auf der die beiden Punkte liegen.</dd>

<dd>I2. Zwei verschiedene Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P,\,Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P,\,Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P,\,Q}" loading="lazy"> einer Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> bestimmen diese Gerade eindeutig.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Inzidenzgeometrie">Inzidenzgeometrie</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_2">Definition</h3></div>

Ist allgemein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e933fcc4f44ecac3eb0d5de27eedb8179e7ddf9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}" loading="lazy"> ein <a href="Inzidenzgeometrie#Allgemeine_Inzidenzgeometrie" title="Inzidenzgeometrie">Inzidenzraum</a> und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {P}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3578dc6e335319ed4a27b91e10549a8293c04566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.892ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {P}}}" loading="lazy"> zwei verschiedene Punkte in diesem Raum, dann heißt eine Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy"> Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}Ig\land P_{2}Ig}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10862b1ba36dd30b7f6a516744cdac92611cd50d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}Ig\land P_{2}Ig}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {card} (\{h\in G\colon P_{1}Ih\land P_{2}Ih\})\leq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f5cd23890775d96cca18803e97d355af2f8f7c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.531ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {card} (\{h\in G\colon P_{1}Ih\land P_{2}Ih\})\leq 1}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notation_und_Sprechweisen">Notation und Sprechweisen</h3></div>

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=\langle P_{1},P_{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fce97625163881b25e3917a90ee699877b5e47f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g=\langle P_{1},P_{2}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

oder

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=P_{1}\vee P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55594ce925a863a69b47f31b993544478fa9f879.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.89ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=P_{1}\vee P_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder auch kurz

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=P_{1}P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c0c9dc49802d62b23c44226a33585b5256ae037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.307ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g=P_{1}P_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

In dem hierzu üblichen <a href="Sprachgebrauch" title="Sprachgebrauch">Sprachgebrauch</a> sagt man dann auch

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> verbindet die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> gehört mit den Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy"> zusammen.</li>

<li>Die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy"> liegen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> geht durch die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy">.</li>

<li>Die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy"> inzidieren mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> inzidiert mit den Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy">.</li></ul>

oder Ähnliches.

Unter Benutzung dieses Sprachgebrauchs lassen sich die obigen Bedingungen (V1) und (V2) so in Worte fassen:

<dl><dd>(V1’) Die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy"> werden durch die Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> verbunden.</dd>

<dd>(V2’) Für die Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy"> gibt es höchstens eine Gerade, die sie verbindet.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verbindungsaxiom">Verbindungsaxiom</h3></div>

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Räumen</a>, in allen <a href="Affiner_Raum" title="Affiner Raum">affinen Räumen</a> und in allen <a href="Projektiver_Raum" title="Projektiver Raum">projektiven Räumen</a> gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):

<dl><dd>(V) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums existiert stets eine Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.</dd></dl>

Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom.

In anderer Formulierung lässt sich das Verbindungsaxiom auch wie folgt aussprechen:

<dl><dd>(V’) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte verbindet.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teilräume_und_Hüllensystem">Teilräume und Hüllensystem</h3></div>

Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen – wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen <a href="Linearer_Raum_(Geometrie)" title="Linearer Raum (Geometrie)">linearen Räumen</a> wie z. B. den <a href="Blockplan" title="Blockplan">Blockplänen</a> – ist gemeinsam, dass die Inzidenzrelation von der <a href="Elementrelation" class="mw-redirect" title="Elementrelation">Elementrelation</a> herrührt und somit die Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmengen</a> der zugehörigen <a href="Punktmenge" class="mw-redirect" title="Punktmenge">Punktmenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.924ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}}" loading="lazy"> sind.

Es ist also dann die Geradenmenge eine Teilmenge der <a href="Potenzmenge" title="Potenzmenge">Potenzmenge</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.924ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}}" loading="lazy">, folglich die Beziehung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subseteq 2^{\mathfrak {P}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subseteq 2^{\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3e8df46b6330775443df7de48edb3282031aeae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.681ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G\subseteq 2^{\mathfrak {P}}}" loading="lazy"> gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e933fcc4f44ecac3eb0d5de27eedb8179e7ddf9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,I)}" loading="lazy"> kurz in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7021b7d9e1cab9bdc3ff632e1e80137682bd301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}" loading="lazy"> anstatt in der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,{\in })}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,{\in })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad25ed2bc589f57364cb67a3eabeabbc156dbfbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G,{\in })}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c055d8e83881e81aa91938ab5b7541a27d91703.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}}" loading="lazy"> einen Teilraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7021b7d9e1cab9bdc3ff632e1e80137682bd301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}" loading="lazy">, wenn mit je zwei verschiedenen Punkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {T}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28f3b7fba2f92766dcd25707edb211d25f1a162.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.539ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {T}}}" loading="lazy"> stets ihre Verbindungsgerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f21234bf39e4f5d59a3aa5273a31b711f08e6205.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle }" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {T}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ea1f4cdfbe22a1612f083b2cfd87af036f141af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.571ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {T}}}" loading="lazy"> enthalten ist, also hierfür stets <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle \subseteq {\mathfrak {T}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle \subseteq {\mathfrak {T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7baca4cedac69c78aa3d51dfda3b78d18e209d59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.606ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle \subseteq {\mathfrak {T}}}" loading="lazy"> gilt.

Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> der Teilräume von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7021b7d9e1cab9bdc3ff632e1e80137682bd301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}" loading="lazy"> bildet ein <a href="H%C3%BCllensystem" class="mw-redirect" title="Hüllensystem">Hüllensystem</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zugehöriger_Hüllenoperator">Zugehöriger Hüllenoperator</h3></div>

Zum Hüllensystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> lässt sich in der üblichen Weise der zugehörige <a href="H%C3%BCllenoperator" title="Hüllenoperator">Hüllenoperator</a> bilden. Diesen schreibt man oft als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \;\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \;\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/192f7ff25a3f5cea4bcb8332436458112f945e36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \;\rangle }" loading="lazy">.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}\subseteq {\mathfrak {P}}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}\subseteq {\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/514ca3cc9060e8dca5c47b9cedff22a3b11032ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.001ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}\subseteq {\mathfrak {P}}}" loading="lazy"> gilt also

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\bigcap \{{\mathfrak {T}}\in {\mathcal {T}}\colon {\mathfrak {T}}\supseteq {\mathfrak {P}}_{0}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/652a109aac729276fcaac5c8937e2a1f35a061a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:27.823ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\bigcap \{{\mathfrak {T}}\in {\mathcal {T}}\colon {\mathfrak {T}}\supseteq {\mathfrak {P}}_{0}\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Das bedeutet:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88d06a09ca508fefb0e1b9245f34a63bc5397e58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.788ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle }" loading="lazy"> ist der kleinste Teilraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7021b7d9e1cab9bdc3ff632e1e80137682bd301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}" loading="lazy">, der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7077a048a0c1055e3d9a30c6957c2300c06d2265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.979ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}" loading="lazy"> umfasst.</dd></dl>

Im Falle, dass dabei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7077a048a0c1055e3d9a30c6957c2300c06d2265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.979ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}}" loading="lazy"> eine <a href="Endliche_Menge" title="Endliche Menge">endliche Menge</a> von Punkten ist, etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}=\{P_{1},\dotsc ,P_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}=\{P_{1},\dotsc ,P_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ddce9974147f6ac9528e1b26cb599a88b346424.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.307ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}_{0}=\{P_{1},\dotsc ,P_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )}" loading="lazy">, schreibt man auch

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},\dotsc ,P_{m}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cefccda18e6e40706da5dabaf726662ac55f7b47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},\dotsc ,P_{m}\rangle }" loading="lazy"></dd></dl>

oder auch

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =P_{1}\vee \dotsc \vee P_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59ba0105b9056868db917767eab6083239526cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.488ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =P_{1}\vee \dotsc \vee P_{m}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b32de1b0dc05f6e525ad6a3e8ddeeb4321fd79e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=2}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}\neq P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}\neq P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06df0c20342bb7361c63616cc5f1ac39b9b97d8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.191ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle P_{1}\neq P_{2}}" loading="lazy"> hat man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},P_{2}\rangle }">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},P_{2}\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfa2e02116834cee084cd9680412e632fd140305.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.823ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},P_{2}\rangle }" loading="lazy">, also wiederum die Verbindungsgerade von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87858df7457aa93caaef5a316db87a7240cc8c29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_der_Koordinatenebene">Beispiel der Koordinatenebene</h3></div>

Die <a href="Koordinatenebene" title="Koordinatenebene">Koordinatenebene</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f123baef27cc7331ccc361c0c4a18c2faedfa011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle K^{2}}" loading="lazy"> über einem <a href="Kommutativer_K%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Kommutativer Körper">kommutativen Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> gibt ein Standardbeispiel für einen Inzidenzraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7021b7d9e1cab9bdc3ff632e1e80137682bd301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathfrak {P}},G)}" loading="lazy">, in dem das Verbindungsaxiom gilt.<a href="#cite_note-Koecher-Krieg-4">[4]</a>

Hier ist die Punktmenge

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {P}}=K^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89e7a947eb88efffc116296a4ca4ccbcf5256f9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.171ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {P}}=K^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Geradenmenge

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\{a+Ku\colon a\in K^{2}\land u\in K^{2}\setminus \{\mathbf {0} \}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/971232839fcc5a1b1f2f99410d0e7454b2c588cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.726ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle G=\{a+Ku\colon a\in K^{2}\land u\in K^{2}\setminus \{\mathbf {0} \}\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Geradenmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> erhält man also dadurch, dass man alle möglichen <a href="Faktorraum#Definition" title="Faktorraum">Nebenklassen</a> zu allen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f123baef27cc7331ccc361c0c4a18c2faedfa011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.148ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle K^{2}}" loading="lazy"> gelegenen <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Unterräumen</a> der <a href="Dimension_(Mathematik)#Dimension_eines_Vektorraumes_(Hamel-Dimension)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension 1</a> bildet.

Hat man hier zwei unterschiedliche Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in K^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},P_{2}\in K^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdcddfe48c3683807cee58bfd4144355064ab9a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.116ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle P_{1},P_{2}\in K^{2}}" loading="lazy">, so lässt sich die Verbindungsgerade in folgender Weise darstellen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle =\{\alpha P_{1}+\beta P_{2}\colon \alpha ,\beta \in K\land \alpha +\beta =1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0470d4e4e1675fe54151802349385aa10bfcc63d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle =\{\alpha P_{1}+\beta P_{2}\colon \alpha ,\beta \in K\land \alpha +\beta =1\}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Standardbeispiel für dieses Konzept bieten die Geraden, die zwei Punkte der <a href="Euklidischer_Raum#Der_euklidische_Punktraum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Ebene</a> verbinden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Affiner_Raum#Definition" title="Affiner Raum">Verbindungsvektor</a></li>

<li><a href="Verbindungsraum" class="mw-redirect" title="Verbindungsraum">Verbindungsraum</a></li>

<li><a href="Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Verbindungsstrecke</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Gerhard_Hessenberg" title="Gerhard Hessenberg">Gerhard Hessenberg</a>, Justus Diller: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Geometrie</cite>. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20, 220.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Gerhard+Hessenberg%2C+Justus+Diller&rft.btitle=Grundlagen+der+Geometrie&rft.date=1967&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pages=20%2C+220&rft.place=Berlin&rft.pub=Walter+de+Gruyter+Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Geometrie</cite>. Mit Supplementen von Dr. <a href="Paul_Bernays" title="Paul Bernays">Paul Bernays</a> (= <cite style="font-style:italic">Teubner-Studienbücher: Mathematik</cite>). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Hilbert%2C%20David&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=15&mx-pid=1109913">MR1109913</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=David+Hilbert&rft.btitle=Grundlagen+der+Geometrie&rft.date=1972&rft.edition=11.&rft.genre=book&rft.isbn=3519120208&rft.pages=3+ff.&rft.place=Stuttgart&rft.pub=Teubner+Verlag&rft.series=Teubner-Studienb%C3%BCcher%3A+Mathematik" style="display:none"> </li>

<li><a href="Helmut_Karzel" title="Helmut Karzel">Helmut Karzel</a>, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Geometrie</cite> (= <cite style="font-style:italic">Uni-Taschenbücher</cite>. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Helmut+Karzel%2C+Kay+S%C3%B6rensen%2C+Dirk+Windelberg&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Geometrie&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.isbn=3525034067&rft.pages=11+ff.&rft.place=G%C3%B6ttingen&rft.pub=Vandenhoeck+%26+Ruprecht&rft.series=Uni-Taschenb%C3%BCcher" style="display:none"> </li>

<li><a href="Max_Koecher" title="Max Koecher">Max Koecher</a>, <a href="Aloys_Krieg" title="Aloys Krieg">Aloys Krieg</a>: <cite style="font-style:italic">Ebene Geometrie</cite> (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7, 48 ff., 52, 212.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Max+Koecher%2C+Aloys+Krieg&rft.btitle=Ebene+Geometrie&rft.date=2000&rft.edition=2.%2C+neu+bearbeitete+und+erweiterte&rft.genre=book&rft.isbn=3540676430&rft.pages=7%2C+48+ff.%2C+52%2C+212&rft.place=Berlin+%28u.+a.%29&rft.pub=Springer+Verlag&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none"> </li>

<li><a href="Herbert_Meschkowski" title="Herbert Meschkowski">Herbert Meschkowski</a>: <cite style="font-style:italic">Denkweisen großer Mathematiker</cite>. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik (= <cite style="font-style:italic">Dokumente zur Geschichte der Mathematik</cite>). 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Meschkowski%2C%20Herbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=1086172">MR1086172</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Herbert+Meschkowski&rft.btitle=Denkweisen+gro%C3%9Fer+Mathematiker&rft.date=1990&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3528281790&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+Verlag&rft.series=Dokumente+zur+Geschichte+der+Mathematik" style="display:none"> </li>

<li>Eberhard M. Schröder: <cite style="font-style:italic">Vorlesungen über Geometrie</cite>. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schr%C3%B6der%2C%20Eberhard%20M.&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=27&mx-pid=1166803">MR1166803</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Eberhard+M.+Schr%C3%B6der&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+Geometrie&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=3411153016&rft.pages=2+ff.&rft.place=Mannheim+%2F+Wien+%2F+Z%C3%BCrich&rft.pub=BI+Wissenschaftsverlag" style="display:none"> </li>

<li>Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (Bearb.): <cite style="font-style:italic">Vieweg-Mathematik-Lexikon</cite>. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Verbindungsgerade&rft.au=Otto+Kerner%2C+Joseph+Maurer%2C+Jutta+Steffens%2C+...&rft.btitle=Vieweg-Mathematik-Lexikon&rft.date=1988&rft.genre=book&rft.isbn=3528063084&rft.pages=311&rft.place=Braunschweig+%2F+Wiesbaden&rft.pub=Vieweg+Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Anmerkungen">Einzelnachweise und Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-Meschkowski-1"><a href="#cite_ref-Meschkowski_1-0">↑</a> Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. 3. Auflage, 1990, S. 20.

</li>

<li id="cite_note-Hilbert-2"><a href="#cite_ref-Hilbert_2-0">↑</a> David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 11. Auflage, 1972, S. 3 ff.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Dabei wird die Elementrelation als selbstverständlich gegeben betrachtet und nicht weiter erwähnt.

</li>

<li id="cite_note-Koecher-Krieg-4"><a href="#cite_ref-Koecher-Krieg_4-0">↑</a> Koecher, Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 48 ff.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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